대수적으로 닫힌 체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대수적 폐포
3. 성질
4. 예시
5. 분류
참조

1. 개요

대수적으로 닫힌 체는 체 K 내에서 K[t]의 모든 다항식이 K에 적어도 하나의 근을 갖는 체를 의미한다. 이는 기약 다항식이 모두 일차식이고, 대수적 확대가 K 자신밖에 존재하지 않으며, 선형 변환이 항상 고유값을 갖는다는 조건과 동치이다. 대수적 폐포는 체 K를 포함하는 대수적으로 닫힌 대수적 확대이며, 항상 존재하고 동형이지만 표준적이지 않다. 특정 표수의 대수적으로 닫힌 체는 일계 술어 논리로 묘사되는 명제의 참/거짓이 동일하다. 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이며, 비가산 대수적으로 닫힌 체는 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. 복소수 체는 대수적으로 닫힌 체의 예시이며, 모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 대수적으로 닫힌 체는 표수와 초월 차수로 완전히 분류된다.

2. 정의

체 $K$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 '''대수적으로 닫힌 체'''라고 한다.

다항식환 $K[t]$ 의 임의의 원소 $p(t)\in K[t]$ 에 대하여, $p(t_0)=0$ 인 $t_0\in K$ 가 항상 적어도 하나 존재한다.
$K[x]$ 의 기약 다항식이 모두 일차식이다.
$K$ 의 대수적 확대가 $K$ 자신밖에 존재하지 않는다.
임의의 $K^n$ 에 대해, $K^n \to K^n$ 인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이는 해당 선형 변환의 특성다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

2. 1. 대수적 폐포

체

K

의 '''대수적 폐포'''(代數的閉包, algebraic closure^영어)

\bar K

는

K

를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대

\bar K/K

이다. 대수적 폐포는 항상 존재하며, 주어진 체

K

의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적(canonical^영어)이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다.

3. 성질

절대 초월 차수가 기수 $\kappa$ 인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 의 집합의 크기는 다음과 같다.

: $|K|=\max\{\kappa,\aleph_0\}$

즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. $\kappa>\aleph_0$ 이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다.

임의의 체 $K$ 에 대해, $K$ 의 대수적 확대이자 대수적으로 닫힌 체가 존재하여 동형을 제외하고 유일하게 정해지며, 이를 $K$ 의 '''대수적 폐포'''라고 부른다. $K$ 의 대수적 폐포는 $K^{alg}$ 나 $\overline{K}$ 로 표기한다.

대수적으로 닫힌 체 위에서 임의의 행렬은 조르당 표준형을 가지며, 행렬이 대각화 가능함과 그 최소 다항식이 중근을 갖지 않음이 동치이다.

3. 1. 동치 조건

체 ''F''가 대수적으로 닫힌 체라는 것은 다음 조건들과 동치이다.

다항식환 ''F''[''x'']에서 차수가 1인 다항식이 유일한 기약 다항식이다.
''F''의 계수를 갖는 모든 차수가 1 이상인 다항식 ''p''(''x'')는 선형 인수로 인수분해된다. 즉, 체 ''F''의 원소 ''k'', ''x''₁, ''x''₂, ..., ''x_n''가 존재하여 ''p''(''x'') = ''k''(''x'' - ''x''₁)(''x'' - ''x''₂) ⋯ (''x'' - ''x_n'')가 성립한다.
''F''는 고유한 대수적 확대체를 갖지 않는다.
''F''는 고유한 유한 확대를 갖지 않는다.
''F''의 계수를 갖는 한 변수 ''x''의 모든 유리 함수는 다항 함수와 ''a''/(''x'' - ''b'')^''n'' (''n''은 자연수, ''a'', ''b''는 ''F''의 원소) 형태의 유리 함수들의 합으로 나타낼 수 있다.
두 다항식이 공통 근을 갖지 않으면 서로소이다.
''F'' 위에서 소수 차수의 모든 다항식이 ''F'' 내에 근을 가지면, 모든 비상수 다항식은 ''F'' 내에 근을 가진다.^[1]

3. 2. 농도에 따른 유일성

\alpha

를 비가산 무한농도라고 할 때, 임의의 표수

p

에 대해, 표수가

p

이고 농도가

\alpha

인 대수적 닫힌 체는 동형을 제외하고 유일하게 정해진다. 실제로, 그러한 대수적 닫힌 체는

k

를 소체 (즉

\mathbb Q

또는

\mathbb{F}_p

)로 하여

k(X_\beta)_{\beta\in\alpha}

의 대수적 폐포와 동형이 됨이 초월 기저의 존재와 대수적 폐포의 유일성으로부터 유도된다. 임의의 유한체는 대수적으로 닫힌 체가 될 수 없다. 가산 무한 농도의 대수적 닫힌 체는,

k

를 소체,

\alpha

를 가산 농도로 하여

k(X_\beta)_{\beta\in\alpha}

의 대수적 폐포가 생각될 수 있으며, 이것들은 서로 비동형이므로 가산 무한 농도의 대수적 닫힌 체는 각각의 표수에 대해 가산 개의 동형류가 있다는 것을 알 수 있다.

3. 3. 기타 성질

대수적으로 닫힌 체 위에서 임의의 행렬은 조르당 표준형을 가지며, 행렬이 대각화 가능함과 그 최소 다항식이 중근을 갖지 않음이 동치이다.^[2] 특정 표수의 대수적으로 닫힌 체에 대해, 일계 술어 논리로 덧셈, 곱셈, 덧셈과 곱셈의 단위원을 조합하여 기술할 수 있는 명제의 참/거짓은 어떤 대수적 닫힌 체에서 생각해도 동일하다.^[2] 대수적으로 닫힌 체는 1의 모든 ''n''제곱근을 포함한다.^[2]

4. 예시

실수 체는 다항식 방정식 $x^2+1=0$ 이 실수 해를 갖지 않기 때문에 대수적으로 닫혀 있지 않다. 같은 논리로 유리수 체를 포함한 실수 체의 모든 부분체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 반면, 대수학의 기본 정리에 따르면 복소수 체는 대수적으로 닫혀 있다. 대수적 수 체 또한 대수적으로 닫힌 체의 예이다.^[1]

유한체 ''F''는 대수적으로 닫혀 있지 않다. ''F''의 원소가 ''a''₁, ''a''₂, ..., ''a_n''일 때, 다항식 (''x'' − ''a''₁)(''x'' − ''a''₂) ⋯ (''x'' − ''a_n'') + 1은 ''F''에서 해를 갖지 않기 때문이다. 그러나 고정된 표수 ''p''(''p''는 소수)를 갖는 모든 유한체의 합집합은 대수적으로 닫힌 체이며, 이는 ''p''개의 원소를 갖는 체 $\mathbb F_p$ 의 대수적 폐포이다.^[1]

복소 계수를 갖는 유리 함수 체 $\mathbb{C}(x)$ 는 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 다항식 $y^2 - x$ 는 $\pm\sqrt{x}$ 의 근을 가지는데, 이는 $\mathbb{C}(x)$ 의 원소가 아니다.^[1]

4. 1. 표수 0

복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다. 실수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 `x`에 대한 다항방정식 `x²+1 = 0`은 실수근을 갖지 않는다. 실수체의 대수적 폐포는 복소수체다. (대수학의 기본 정리) 유리수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 대수적 수의 체이다.

4. 2. 양의 표수

모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가

a_1, a_2, \cdots, a_n

인 경우, 다항식

(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1

은 해를 갖지 않는다. 소수

p

크기의 유한체

\mathbb F_p

의 대수적 폐포

\bar{\mathbb F}_p

는 귀납적 극한

:

\bar{\mathbb F}_p=\varinjlim \mathbb F_{p^n}

이다. 즉, 체의 확대

:

\mathbb F_{p^n}\hookrightarrow\mathbb F_{p^{kn}}

를 집합론적 부분집합으로 간주하여

:

\mathbb F_{p^n}\subset\mathbb F_{p^{kn}}

로 쓴다면,

:

\bar{\mathbb F}_p=\bigcup_{n=1}^\infty\mathbb F_{p^n}

이다.

4. 3. 기타 예시

실수 체는 대수적으로 닫혀 있지 않은데, 이는 다항식 방정식

x^2+1=0

이 실수 해를 갖지 않기 때문이다. 같은 이유로 유리수 체를 비롯한 실수 체의 부분체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 반면, 대수학의 기본 정리에 따르면 복소수 체는 대수적으로 닫혀 있다. 대수적 수 체 또한 대수적으로 닫힌 체의 예시이다.^[1]

유한체 ''F''는 대수적으로 닫혀 있지 않다. ''F''의 원소가 ''a''₁, ''a''₂, ..., ''a_n''일 때, 다항식 (''x'' − ''a''₁)(''x'' − ''a''₂) ⋯ (''x'' − ''a_n'') + 1은 ''F''에서 해를 갖지 않기 때문이다. 그러나 고정된 표수 ''p''(''p''는 소수)를 갖는 모든 유한체의 합집합은 대수적으로 닫힌 체이며, 이는 ''p''개의 원소를 갖는 체

\mathbb F_p

의 대수적 폐포이다.^[1]

복소 계수를 갖는 유리 함수 체

\mathbb{C}(x)

는 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 다항식

y^2 - x

는

\pm\sqrt{x}

의 근을 가지는데, 이는

\mathbb{C}(x)

의 원소가 아니다.^[1]

5. 분류

두 대수적으로 닫힌 체 K와 K'에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

K와 K'은 체로서 서로 동형이다.
K와 K'은 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수(대수 독립 집합의 최대 크기)를 갖는다.

따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 p와 초월 차수 κ로 완전히 분류된다.

참조

_[1] 논문 Improving the Fundamental Theorem of Algebra http://www.jon-arny.[...] 2007
_[2] 서적 An introduction to first-order logic
_[3] 서적 Algebra
_[4] 문서

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